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对数的性质及简要证明

Posted on:2023年5月10日 at 13:15

感谢 @Mikasa 对本文章标题名称疏漏的提出,本文章标题应为“对数的性质及简要证明”,并应要求增加了性质一后半部分的证明。

性质归类

性质一

cx1=ac^{x_1}=a,则 x1=logca{x_1}=\log_ca

cx2=bc^{x_2}=b,则 x2=logcb{x_2}=\log_cb

ab=cx1×cx2=cx1+x2\because ab = c^{x_1}\times c^{x_2} = c^{x_1+x_2}
logc(ab)=x1+x2\therefore \log_c(ab)=x1+x2
logc(ab)=logca+logcb\log_c(ab)=\log_ca+\log_cb

第一部分已经证明。

logcalogcab=logcb\log_ca-\log_c\frac{a}{b}=\log_cb
logcab=logcalogcb\log_c\frac{a}{b}=\log_ca-\log_cb

得证。

性质二

(am)n=amn\because (a^m)^n = a^{mn}

ama^m 等于 xx,则有

logax=m,logaxn=mn\log_ax=m,\log_ax^n=mn
nlogax=logaxnn\log_ax=log_ax^n

得证。

性质三

x=logabx = \log_ab,则 ax=ba^x=b,则

logcax=logcb\log_ca^x=log_cb

由性质二得:

xlogca=logcbx\log_ca=log_cb
logab=logcblogca\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}

性质四

ax=ba^x=b,则

(ax)n=bn(a^x)^n=b^n
logab=x,loganbn=x\log_ab=x,\log_{a^n}{b^n}=x
logab=loganbn\log_ab=\log_{a^n}{b^n}
logab=logambm=mlogamb\log_ab=\log_{a^m}b^m = m\log_{a^m}b
logab=mlogamb\log_ab=m\log_{a^m}b
1mlogab=mlogamb\frac{1}{m}\log_ab=mlog_{a^m}b
nmlogabn=mlogamb\frac{n}{m}\log_ab^n=mlog_{a^m}b

得证。

同样,证的不好欢迎锤。



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